Question

【題目】根據國家環保部新修訂的《環境空氣質量標準》規定：居民區 的年平均濃度不得超過3S微克/立方米， 的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．某市環保局隨機抽取了一居民區2016年20天 的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監測數據，數據統計如圖表：

組別	濃度（微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組		3	0.15
第二組		12	0.6
第三組		3	0.15
第四組		2	0.1

（Ⅰ）將這20天的測量結果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．
（ⅰ）求圖中 的值；
（ⅱ）在頻率分布直方圖中估算樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從 的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境質量是否需要改善？并說明理由．
（Ⅱ）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區 的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的天數為 ，求 的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ） 的值為0.004．
（ⅱ）2016年該居民區 年平均濃度為
（微克/立方米）．
因為 ，所以2016年該居民區 年平均濃度不符合環境空氣質量標準，故該居民區的環境需要改進．
（Ⅱ）由題意， 的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的概率為0.9， 的可能取值為0，1，2，3．
；
；
；
．
∴ 的分布列為

	0	1	2	3
	0.001	0.027	0.243	0.729

或 ．
【解析】(1)（ⅰ）根據題意估計出頻率和為1進而求出a的值。（ⅱ）利用頻率分布直方圖求出年平均濃度與35比較即可得出結論。(2)由題意得出 P M 2.5 的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的概率為0.9， X 的可能取值為0，1，2，3，利用n次獨立事件概率公式分別求出各個 X取值下的概率值，寫出分布列即可。