Question

設函數f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數，（a，b，c都是整數），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調遞增．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x＜0時，f（x）的單調性如何？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）求三個未知數，需要三個條件，一是定義域要關于原點對稱，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調遞增可解．
（2）用單調性定義來探討，先在給定的區間上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，在與0比較中出現討論，再進一步細化區間，確定后即為所求的單調區間．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
故f（x）的定義域關于原點對稱
又f（x）的定義域為{x|x≠-

c

b

}（顯然b≠0，否則f（x）為偶函數）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上單調遞增

（2）由（1）知f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①當-1＜x₁＜x₂＜0時，顯然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）為減函數
②當x₁＜x₂＜-1時，顯然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）為增函數
綜上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函數，在[-1，0）上是減函數．

點評：本題主要考查函數利用奇偶性和函數值，單間性來求解析式，在研究單調性中分類討論的思想應用．