Question

已知命題P：函數f（x）=log_2m（x+1）是增函數；命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）寫出命題Q的否命題?Q；并求出實數m的取值范圍，使得命題?Q為真命題；
（2）如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）否命題?Q，就是把命題Q的條件和結論都否定，聯系對應二次函數圖象，由△=m²-4＞0，解得m的
取值范圍．
（2）命題P和命題Q中，一個為真命題，一個為假命題，分命題P是真命題且命題Q是假命題、命題P是
假命題且命題Q是真命題，兩種情況，計算可得答案．

解答：解：（1）?Q：?x₀∈R，x₀²+mx₀+1＜0．（2分）
若?Q為真命題，則△=m²-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2．
故所求實數m的取值范圍為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．（5分）
（2）若函數f（x）=log_2m（x+1）是增函數，則 2m＞1，A={m|m＞

1

2

}．（7分）
又?x∈R，x²+mx+1≥0為真命題時，由△=m²-4≤0，
求得m的取值范圍為B={m|-2≤m≤2}．（9分）
由“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，故命題P、Q中有且僅有一個真命題．
當P真Q假時，實數m的取值范圍為：
A∩CRB=(

1

2

，+∞)∩[(-∞，-2)∪(2，+∞)]=(2，+∞)．（11分）
當P假Q真時，實數m的取值范圍為：
(CRA)∩B=(-∞，

1

2

]∩[-2，2]=[-2，

1

2

]；（13分）
綜上可知實數m的取值范圍：[-2，

1

2

]∪（2，+∞）．（14分）

點評：本題考查對數函數的單調性，一元二次不等式的解法，命題的否定，體現了數形結合及分類討論的數學思想．