Question

設集合A={x|

x+3

x-3

＜0}，若p、q∈A，求方程x²+2px-q²+1=0有兩實根的概率．

Answer 1

分析：欲求方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根的概率，先根據二次方程根的判別式求出p，q必須滿足的條件，再在坐標系中畫出相應的封閉曲線，最后利用幾何概率的計算方法，求出它們的面積比即可．

解答：解：集合A={x|

x+3

x-3

＜0}={x|-3＜x＜3}，
又∵方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根，
∴△≥0，即有：

-3＜p＜3 -3＜q＜3 △=(2p)2-4(-q2+1)≥0

，
即

-3＜p＜3 -3＜q＜3 p2+q2≥1

．
在坐標平面內畫出其表示的平面區域，如圖所示，是正方形內單位圓外的部分．
其中圓的面積為π，正方形的面積為36，
根據幾何概率的計算公式得，
方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根的概率：P=

S圓外的部分

S正方形

=

36-π

36

．

點評：本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．