Question

一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為

1

2

，且各件產品是否為優質品相互獨立．
（Ⅰ）求這批產品通過檢驗的概率；
（Ⅱ）已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A₁，第一次取出的4件產品全是優質品為事件A₂，第二次取出的4件產品全是優質品為事件B₁，第二次取出的1件產品是優質品為事件B₂，這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A=（A₁B₁）∪（A₂B₂），且A₁B₁與A₂B₂互斥，由概率得加法公式和條件概率，代入數據計算可得；
（Ⅱ）X可能的取值為400，500，800，分別求其概率，可得分布列，進而可得期望值．

解答：解：（Ⅰ）設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A₁，第一次取出的4件產品全是優質品為事件A₂，
第二次取出的4件產品全是優質品為事件B₁，第二次取出的1件產品是優質品為事件B₂，
這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A=（A₁B₁）∪（A₂B₂），且A₁B₁與A₂B₂互斥，
所以P（A）=P（A₁B₁）+P（A₂B₂）=P（A₁）P（B₁|A₁）+P（A₂）P（B₂|A₂）
=

4

16

×

1

16

+

1

16

×

1

2

=

3

64

（Ⅱ）X可能的取值為400，500，800，并且P（X=800）=

1

4

，P（X=500）=

1

16

，
P（X=400）=1-

1

16

-

1

4

=

11

16

，故X的分布列如下：

X	400	500	800
P	11 16	1 16	1 4

故EX=400×

11

16

+500×

1

16

+800×

1

4

=506.25

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列涉及數學期望的求解，屬中檔題．