Question

(本小題滿分14分)  已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）當時，比較與

的大小，并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）3；（3）見解析.

【解析】（1）由已知得，交點A的坐標為，對

則拋物線在點A處的切線方程為：

  ………………4分

（2）由（1）知f(n)=,則

（3）即知，對于所有的n成立，

特別地，當n=1時，得到a≥3

當a=3，n≥1時，

當n=0時，=2n+1.故a=3時對所有自然數n均成立.

所以滿足條件的a的最小值為3. ………………………………………………8分

（4）由（1）知f(k)=

下面證明：

首先證明0<x<1時，

設函數g(x)=6x(x²-x)+1,0<x<1,  則.

當時,g'(x)<0;   當

故g（x）在區間（0，1）上的最小值

所以，當0<x<1時，g（x）>0,即得

由0<a<1知

 

[點評]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力.主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力；且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法。