Question

已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點,又知.

 

 

(Ⅰ)求證：平面；    

(Ⅱ)求到平面的距離；

(Ⅲ)求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,

∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,

又為中點,知∴.取中點,則

平面,從而面面,…………6分

過作于,則面,在中,,故,即到平面的距離為.…………………8分

(Ⅲ)過作于,連,則,從而為二面角的平面角,在中,,∴,…………10分

在中,,故二面角的大小為.

…………………12分

   解法：(Ⅰ)如圖,取的中點,則,∵,∴,

又平面,以為軸建立空間坐標系, …………1分

 

 

則,,,,,,

,,由,知,

又,從而平面.…………………4分

(Ⅱ)由,得.設平面的法向量

為,,,,

設,則.…………6分

∴點到平面的距離.…………………8分

(Ⅲ)設面的法向量為,,,

∴.…………10分

設,則,故,根據法向量的方向

可知二面角的大小為.…………………12分

【解析】略