Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°AC=BC=a，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又A₁B⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求AA₁與平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）證明線面垂直，可用線垂直的判定定理，由題意知，可證A₁D⊥BC與AC⊥BC，再由定理得出結論；
（II）求線面角，要先作出線面角，由線面角的定義，線與線在面內的投影所成的角即為線面角，由此找出線面角，在相應的三角形中求出它的三角函數值，再求角；
（III）先由二面角的平面角的定作出二面角的平面角，再在三角形中求出此角的大小．

解答：解：（I）證明：∵A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，
∴A₁D⊥面ABC，
∴A₁D⊥BC，
∠BCA=90°，
∴AC⊥BC
∵A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（II）由（I）知，A₁D⊥面ABC，
AA₁在平面ABC的射影是AC，
∴∠A₁AD是AA₁與平面ABC所成的角，又A₁B⊥AC₁，A₁B在平面ACC₁A₁的投影為A₁C，
∴A₁C⊥AC，又ACC₁A₁是菱形，
∴AA₁=AC=a，AD=DC=

1

2

a，在Rt△A₁DA中，COS∠A₁AD=

AD

A 1A

=

1

2

得∠A₁AD=

π

3

（III）由（I）知BC⊥平面ACC₁A₁作CN⊥AA₁，于點N，連接BN，∠BNC是二面角B-AA₁ -C的平面角，
由圖易知CN=

3

2

a，BC=a
∴在Rt△BCN中，tan∠BNC=

BC

CN

=

2 3

3

，
∴二面角B-AA₁ -C的平面角的正切值為

2 3

3

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何題，考查了二面角的求法，線面角的求法，線面垂直等立體幾何問題，解題的關鍵是熟練掌握線面角的作法，二面角的作法及線面垂直證明的定理，本題考查了數形結合的思想，規律性強，