Question

如圖，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=4，底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得AC⊥BD，AC⊥BB₁，從而AC⊥平面BDB₁，由此能證明AC⊥B₁D．
（2）由已知得BB₁⊥平面ABC，且BB₁=4，S_△ABC=

1

2

×4×4×sin120°=4

3

，由此能求出三棱錐B₁-ABC的體積．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴AC⊥BD，
∵在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDB₁，
∵B₁D?平面BDB₁，∴AC⊥B₁D．
（2）∵在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=4，
底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，
∴BB₁⊥平面ABC，且BB₁=4，
S_△ABC=

1

2

×4×4×sin120°=4

3

，
∴三棱錐B₁-ABC的體積：
V=

1

3

S△ABC•BB1=

1

3

×4

3

×4=

16 3

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．