Question

從0，1，2，…，10中挑選若干個不同的數字填滿圖中每一個圓圈稱為一種“填法”，若各條線段相連的兩個圓圈內的數字之差的絕對值各不相同，則稱這樣的填法為“完美填法”．
試問：對圖1和圖2是否存在完美填法？若存在，請給出一種完美填法；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：對于圖1，各條線段相連的兩個圓圈內的數字之差的絕對值各不相同，上述填法即為完美；對于圖2不存在完美填法．利用反證法進行證明．假設存在完美填法．由于圖中一共有10條連線，因此各連線上兩數之差的絕對值恰好為1，2，3，…，10，其和s=55為奇數；另一方面，圖中每一個圓圈所連接的連線數都為偶數條．即每一個圓圈內的數在上述S的表達式中出現偶數次．因此S應為偶數，出現矛盾．從而得出不存在完美填法．

解答：解：對圖1，上述填法即為完美（答案不唯一）．…（10分）
對于圖2不存在完美填法．因為圖中一共有10條連線，因此各連線上兩數之差的絕對值恰好為1，2，3，…，10，…（15分）
其和s=|a₁-a₂|+|a₁-a₃|+|a₂-a₃|+…+|a₇-a₈|=55為奇數．…（20分）
另一方面，圖中每一個圓圈所連接的連線數都為偶數條．
即每一個圓圈內的數在上述S的表達式中出現偶數次．因此S應為偶數，矛盾．…（25分）
所以，不存在完美填法．

點評：本小題主要考查進行簡單的合情推理等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、反證法思想．屬于中檔題．