Question

已知函數(shù)f(x)=  (Ⅰ)求它的定義域和值域；(Ⅱ)判斷它的奇偶性；（Ⅲ）判斷它的周期性。

Answer 1

(Ⅰ) 函數(shù)定義域?yàn)?img width=131 height=37 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/82/133682.gif" >，k∈Z  函數(shù)值域?yàn)閇） (Ⅱ) 不具備奇偶性  （Ⅲ）2π

解析:

（1）x必須滿足sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函數(shù)線及，k∈Z∴ 函數(shù)定義域?yàn)?img width=131 height=37 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/85/133685.gif" >，k∈Z

∵

∴ 當(dāng)x∈時(shí)，

∴

∴

∴ 函數(shù)值域?yàn)閇）

    (Ⅱ)∵ f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱∴ f(x)不具備奇偶性

   （Ⅲ）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函數(shù)f(x)最小正周期為2π

注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)；

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)，如圖。