Question

已知向量

a

=（tanx，1），

b

=（sinx，cosx），其中x∈[0，

π

3

]，f(x)=

a

•

b

．
（I）求函數f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=

5

4

，求2sin(

π

4

-x)•cos(

π

4

+x)-1的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的坐標和向量積的運算，化簡整理求得函數f（x）的解析式．利用余弦函數的性質可在x=

π

3

時函數有最大值．
（II）利用f(x)=

5

4

求得cosx的值，進而利用同角三角函數基本關系求得sinx的值，利用誘導公式和二倍角公式對原式化簡整理，把sinx和cosx的值代入即可．

解答：解：（I）∵

a

=（tanx，1），

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=tanx•sinx+cosx=

1

cosx

．
∵x∈[0，

π

3

]，∴當x=

π

3

時，f（x）的最大值為f(

π

3

)=

1

cos π 3

=2．
（II）∵f(x)=

5

4

，∴

1

cosx

=

5

4

，則cosx=

4

5

．
∵x∈[0，

π

3

]，∴sinx=

3

5

．
2sin(

π

4

-x)•cos(

π

4

+x)-1=2cos2(

π

4

+x)-1=cos(2x+

π

2

)=-sin2x=-2sinxcosx=-

24

25

．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，同角三角函數基本關系的應用，誘導公式和二倍角公式的化簡求值．綜合考查了學生基礎知識運用．