Question

4．在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，若點E為AB邊上的動點，點F是AD邊上的動點，且$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$，0≤λ≤1，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意建立直角坐標系，邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，可得A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．利用向量的坐標運算和數量積運算可得$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{BF}$，再利用二次函數的單調性可得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值．

解答 解：如圖所示，
∵邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$，-1）．
$\overrightarrow{DE}$=$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}）$=λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}λ-\sqrt{3}$，λ+1），（0≤λ≤1）．
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$λ，λ-2）．
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\sqrt{3}$λ（$\sqrt{3}$λ-$\sqrt{3}$）+（λ+1）（λ-2）=-2λ²+2λ-2
=-2$（λ-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，∵0≤λ≤1，
∴當λ=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為-$\frac{3}{2}$．
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算和數量積運算、二次函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．