Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與其交于M、N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則P點(diǎn)的軌跡方程為（　　）

A．y2=4（x-2）

B．y2=-4（x+2）

C．y2=4（x+2）

D．y2=x-1

Answer 1

由已知拋物線y²=4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設(shè)線段MN與線段OP的交點(diǎn)為H（x₀，y₀），P（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)，H是OP的中點(diǎn)，
∴x₀=

1

2

x，y₀=

1

2

y     ①
當(dāng)直線MN的方程為x=1時(shí)，中點(diǎn)就是F，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
當(dāng)直線的斜率存在在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線MN的方程可設(shè)為y=k（x-1）
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

）-2k=

4

k

M，N的中點(diǎn)為H，故有x₀=

k2+2

k2

，y₀=

2

k

又由①，可得x=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，y=

4

k

兩式聯(lián)立消去k得x=2+

y2

4

，整理得y²=4（x-2），驗(yàn)證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故應(yīng)選A．