Question

如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若異面直線AD₁與EC所成角為60⁰，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置．
（2）求三棱錐C-DED₁的體積．

Answer 1

分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），由向量法能求出異面直線AD₁與EC所成角的大小列出等式即可求出t．
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面DED₁的距離為h，能求出點(diǎn)C到平面D₁DE的距離為1，再求得底面面積，根據(jù)錐體的體積公式求解即得．

解答：解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)：E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），

D1A

=(1，0，-1)

CE

=(1，t-2，0)，4分
根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：
∴1+0•(t-2)+0=

2

•

1+(t-2)2

•cos60°．
t=1，∴E的位置是AB中點(diǎn).7分
（2）VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

，14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直角坐標(biāo)系、異面直線所成角、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．