Question

（2013•香洲區模擬）已知函數f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）求證：當x＞0時 

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立；
（3）若(1+

1

n

)n+a≥e對任意的n∈N^*都成立（其中e是自然對數的底），求常數a的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）當x＞0時，欲證

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，只需證明當x＞0時，ln(x+1)＞

2x

x+2

，構造函數，確定函數的單調性，即可證得結論；
（3）(1+

1

n

)n+a≥e等價于（n+a）ln（1+

1

n

）≥1，分離參數，利用（2）的結論，即可求常數a的最小值．

解答：（1）解：當a=1時，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，則f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函數的單調增區間為（0，+∞），單調減區間為（-1，0）；
（2）證明：當x＞0時，欲證

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，只需證明當x＞0時，ln(x+1)＞

2x

x+2

構造函數g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

，則g′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
∴g（x）=ln(x+1)-

2x

x+2

在（0，+∞）上單調遞增
∴g（x）＞g（0）=0
∴當x＞0時，ln(x+1)＞

2x

x+2

∴當x＞0時，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立；
（3）解：(1+

1

n

)n+a≥e等價于（n+a）ln（1+

1

n

）≥1
∴a≥

1

ln(1+ 1 n )

-n
∵當x＞0時，

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

恒成立，∴

1

ln(1+ 1 n )

-n＜

1

2

∴a≥

1

2

∴常數a的最小值為

1

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查恒成立問題，屬于中檔題．