Question

如圖，在一個由矩形ABCD與正三角形APD組合而成的平面圖形中，AD=2，DC=

2，

現將正三角形APD沿AD折成四棱錐P-ABCD，使P在平面ABCD內的射影恰好在邊BC上．
（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；
（2）求直線AC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明平面PBC⊥平面ABCD，可得AB⊥平面PBC，從而可證平面PAB⊥平面PBC；
（2）證明PC⊥平面PAB，可得∠APC是直線AC與平面PAB所成角，從而可求直線AC與平面PAB所成角的正弦值．

解答：（1）證明：∵折起后，P在平面ABCD內的射影恰好在邊BC上
∴平面PBC⊥平面ABCD
∵平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC
∴AB⊥平面PBC
∵AB?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2）折起后，由（1），△PAB中，∠ABP=90°，AB=

2

，AP=2，∴PB=

2

，
同理PC=

2

∴PC²+PB²=2+2=4=BC²，∴PC⊥PB
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB
∴PC⊥平面PAB
∴∠APC是直線AC與平面PAB所成角
在Rt△APC中，sin∠APC=

PC

AC

=

2

6

=

3

3

，
即直線AC與平面PAB所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確找出線面角，屬于中檔題．