Question

張家界某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對某一景點進(jìn)行改造升級，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x（x≥10）萬元之間滿足：y=f(x)=ax2+

101

50

x-bln

x

10

，a，b為常數(shù)．當(dāng)x=10萬元時，y=19.2萬元；當(dāng)x=20萬元時，y=35.7萬元．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求該景點改造升級后旅游利潤T（x）的最大值．（利潤=旅游增加值-投入）

Answer 1

分析：（1）由條件：“當(dāng)x=10萬元時，y=19.2萬元；當(dāng)x=20萬元時，y=35.7萬元”列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b的值即得則求f（x）的解析式；
（2）先寫出函數(shù)T（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而得出其最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）由條件

a×102+ 101 50 ×10-bln1=19.2 a×202+ 101 50 ×20-bln2=35.7

（2分）
解得a=-

1

100

，b=1（4分）
則f(x)=-

x2

100

+

101

50

x-ln

x

10

(x≥10)．（6分）
（2）由T(x)=f(x)-x=-

x2

100

+

51

50

x-ln

x

10

(x≥10)
則T′(x)=

-x

50

+

51

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

（10分）
令T'（x）=0，則x=1（舍）或x=50
當(dāng)x∈（10，50）時，T'（x）＞0，
因此T（x）在（10，50）上是增函數(shù)；
當(dāng)

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²時，T'（x）＜0，
因此T（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)，∴x=50為T（x）的極大值點（12分）
即該景點改造升級后旅游利潤T（x））的最大值為T（50）=24.4萬元．（13分）

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．