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已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)討論f(x)的單調(diào)性及極值;
(2)設(shè)數(shù)學(xué)公式

解:(1)由
①當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值;
②當(dāng)a>0時,若0<x<a,f(x)<0,故函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,
若x>a,f′(x)>0,故f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,
所以極小值f(a)=1+lna,無極大值.
(2)證明:不妨設(shè)x1≥x2,而0<a,由(1)知f(x)在(0,)的單調(diào)遞減,
故對任意,|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|等價于:

即f(x1)+ax1≤f(x2)+ax2
令g(x)=f(x)+ax,則
令h(x)=ax2+x-a,∵0<a
∴h(0)=-a<0,
,故g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,
又由x1≥x2,∴g(x2)≥g(x1),即f(x2)+ax2≥f(x1)+ax1

分析:(1)借助于導(dǎo)數(shù),討論參數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)借助于(1)的單調(diào)區(qū)間可知函數(shù)在(0,)的單調(diào)性,構(gòu)建新函數(shù),再借助其導(dǎo)數(shù),判斷新函數(shù)的單調(diào)性,即得證.
點評:本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)

(1)討論單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時,證明:當(dāng)時,證明:

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆吉林省高二4月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù);

(2)若函數(shù)處取得極值,對,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高三第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分) 已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù);

(2)若函數(shù)處取得極值,對,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng)時,試比較的大小.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)為偶數(shù)時,正項數(shù)列滿足,求的通項公式;

(3)當(dāng)為奇數(shù)且時,求證:

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆唐山一中高二年級期末考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題

.已知函數(shù)。(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,設(shè),若時,恒成立。求整數(shù)的最大值。

 

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