Question

（本小題滿分12分）

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式和值域；

（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價于恒成立，

從而得：，化簡得，從而得，所以，

其值域為.

（2）解：當時，數列在這個區間上是遞增數列，證明如下：

設，則，所以對一切，均有；

，從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列.

注：本題的區間也可以是、、等無窮多個.

另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則

即又當時，，所以對一切，均有且，所以數列在區間上是遞增數列.

（3）由（2）知，從而；

，即；………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，從而得，即，所以 ，

所以，所以，

所以，.

即，所以，恒成立

當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。

當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。

所以，對任意，有。又非零整數，