Question

已知f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，試解不等式f（x）+f（x-8）≤2．

Answer 1

解：根據題意，由f（3）=1，
得f（9）=f（3）+f（3）=2．
又f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]，
故f[x（x-8）]≤f（9）．
∵f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數，
∴解得8＜x≤9．
∴原不等式的解集為{x|8＜x≤9}．
分析：先根據f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，通過取特殊值求出f（9）=2，將f（x）+f（x-8）≤2，化成f[x（x-8）]≤f（9）．依據函數y=f（x）在R上單調性化掉符號：“f”，將問題轉化為關于x的整式不等式，即可求得x的取值范圍．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、抽象函數及其應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．