Question

已知f（x）在定義域上是奇函數，且在[a，b]（0＜a＜b）上是減函數，圖象如圖所示．
（1）化簡：f（）+f（）+f（）+f（）；
（2）畫出函數f（x）在[-b，-a]上的圖象；
（3）證明：f（x）在[-b，-a]上是減函數．

Answer 1

解：（1）∵f（x）在定義域上是奇函數，
∴f（）+f（）+f（）+f（）
=f（）+f（）-f（）+f（）
=0
（2）根據f（x）在定義域上是奇函數，可得函數的圖象關于原點對稱
故函數f（x）在[-b，-a]上的圖象
如下圖所示

證明：（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，
∵-b≤x₁＜x₂≤-a
∴a≤-x₂＜-x₁≤b
又∵f（x）在[a，b]上是減函數，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
∵f（x）在定義域上是奇函數，
∴-f（x₂）＞-f（x₁）
即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在[-b，-a]上是減函數
分析：（1）根據函數是奇函數，可將原式化為f（）+f（）-f（）+f（），進而得到答案．
（2）根據奇函數的圖象關于原點對稱，可由函數在[a，b]（0＜a＜b）上的圖象，對稱變換后畫出函數f（x）在[-b，-a]上的圖象；
（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，根據函數的單調性和奇偶性，結合函數在[a，b]（0＜a＜b）上是減函數，可判斷出f（x）在[-b，-a]上是減函數．
點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，與函數的單調性，是函數圖象和性質的簡單綜合應用，難度不大，屬基礎題．