Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點，E為BC的中點．
（1）求證：BD⊥平面AB₁E；
（2）求直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值；
（3）求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析：（1）正方形BB₁C₁C中，由Rt△BB₁E≌Rt△CBD證出B₁E⊥BD，由面面垂直的性質定理證出AE⊥平面BB₁C₁C，可得AE⊥BD，再由線面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AB₁E；
（2）由AE⊥平面BB₁C₁C，可得∠AB₁E是直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角．Rt△AB₁E中，算出AE、AB₁的長度，利用三角函數的定義算出sin∠AB₁E=

6

4

，即得直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值；
（3）算出S_△BCD=

1

4

S BB1C1C=1，而AE⊥平面BCD，得三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=

1

3

S_△BCD•AE=

3

3

，從而可得三棱錐C-ABD的體積．

解答：解：（1）∵正方形BB₁C₁C中，D為CC₁中點，E為BC的中點
∴Rt△BB₁E≌Rt△CBD，可得∠CBD=∠BB₁E=90°-∠BEB₁
因此∠BEB₁+∠CBD=90°，可得B₁E⊥BD
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，
正三角形ABC中，AE⊥BC
∴AE⊥平面BB₁C₁C，結合BD?平面BB₁C₁C，得AE⊥BD
∵AE、B₁E是平面AB₁E內的相交直線，∴BD⊥平面AB₁E；
（2）∵AE⊥平面BB₁C₁C，
∴BE是AB₁在平面BB₁C₁C內的射影，可得∠AB₁E是直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角
∵正△ABC中，AE=

3

2

AB=

3

，正方形AA₁B₁B中，對角線AB₁=

2

AB=2

2

∴Rt△AB₁E中，sin∠AB₁E=

AE

AB1

=

6

4

即直線AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值等于

6

4

；
（3）由前面的計算，可得S_△BCD=

1

4

S BB1C1C=1
∵AE⊥平面BB₁C₁C，即AE⊥平面BCD
∴三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=

1

3

S_△BCD•AE=

1

3

×1×

3

=

3

3

三棱錐C-ABD的體積為V_C-ABD=V_A-BCD=

3

3

．

點評：本題給出特殊正三棱柱，求證線面垂直并求直線與平面所成角和錐體的體積．著重考查了正棱柱的性質、線面垂直的判定與性質、直線與平面所成角的求法和錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．