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如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點,E為BC的中點.
(1)求證:BD⊥平面AB1E;
(2)求直線AB1與平面BB1C1C所成角的正弦值;
(3)求三棱錐C-ABD的體積.
分析:(1)正方形BB1C1C中,由Rt△BB1E≌Rt△CBD證出B1E⊥BD,由面面垂直的性質定理證出AE⊥平面BB1C1C,可得AE⊥BD,再由線面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AB1E;
(2)由AE⊥平面BB1C1C,可得∠AB1E是直線AB1與平面BB1C1C所成角.Rt△AB1E中,算出AE、AB1的長度,利用三角函數的定義算出sin∠AB1E=
6
4
,即得直線AB1與平面BB1C1C所成角的正弦值;
(3)算出S△BCD=
1
4
S BB1C1C=1,而AE⊥平面BCD,得三棱錐A-BCD的體積VA-BCD=
1
3
S△BCD•AE=
3
3
,從而可得三棱錐C-ABD的體積.
解答:解:(1)∵正方形BB1C1C中,D為CC1中點,E為BC的中點
∴Rt△BB1E≌Rt△CBD,可得∠CBD=∠BB1E=90°-∠BEB1
因此∠BEB1+∠CBD=90°,可得B1E⊥BD
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC,
正三角形ABC中,AE⊥BC
∴AE⊥平面BB1C1C,結合BD?平面BB1C1C,得AE⊥BD
∵AE、B1E是平面AB1E內的相交直線,∴BD⊥平面AB1E;
(2)∵AE⊥平面BB1C1C,
∴BE是AB1在平面BB1C1C內的射影,可得∠AB1E是直線AB1與平面BB1C1C所成角
∵正△ABC中,AE=
3
2
AB=
3
,正方形AA1B1B中,對角線AB1=
2
AB
=2
2

∴Rt△AB1E中,sin∠AB1E=
AE
AB1
=
6
4

即直線AB1與平面BB1C1C所成角的正弦值等于
6
4

(3)由前面的計算,可得S△BCD=
1
4
S BB1C1C=1
∵AE⊥平面BB1C1C,即AE⊥平面BCD
∴三棱錐A-BCD的體積VA-BCD=
1
3
S△BCD•AE=
1
3
×1×
3
=
3
3

三棱錐C-ABD的體積為VC-ABD=VA-BCD=
3
3
點評:本題給出特殊正三棱柱,求證線面垂直并求直線與平面所成角和錐體的體積.著重考查了正棱柱的性質、線面垂直的判定與性質、直線與平面所成角的求法和錐體的體積公式等知識,屬于中檔題.
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13
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(1)試確定
A1P
PB
的值,使得PC⊥AB;
(2)若
A1P
PB
=
2
3
,求二面角P-AC-B的大小;
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3
48
a3
3
48
a3

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