Question

（2012•密云縣一模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數．
其中正確的命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據所給定義及函數的性質：奇偶性、周期性和單調性的定義，再結合條件和命題進行解答．

解答：解：結合周期函數的性質：f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），則周期為1，
得函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]，所以①正確；
由題意得，f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
∴函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱，所以函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，②正確；
∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），∴周期為1，故③正確；
當m=0時，f（x）=|x|，值域為值域為[0，

1

2

]，函數在[-

1

2

，0]單調遞減，函數在[0，

1

2

]單調遞增，
因此④不正確；
故選C．

點評：本題是一道以函數為背景的信息題，主要考查利用信息分析問題和解決問題的能力、函以及數的重要性質：奇偶性、周期性和單調性的應用，難度較大．