Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求點M到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）設PB的中點為Q，連接AQ，NQ，由三角形中位線定理結合已知可得四邊形AMNQ為平行四邊形，得到MN∥AQ．再由線面平行的判定可得MN∥平面PAB；
（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，進一步得到S_△PBC．然后利用等積法求得點M到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：設PB的中點為Q，連接AQ，NQ；
∵N為PC的中點，Q為PB的中點，∴QN∥BC且QN=$\frac{1}{2}$BC=2，
又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=$\frac{2}{3}$AD=2 且AM∥BC，
∴QN∥AM且QN=AM，
∴四邊形AMNQ為平行四邊形，
∴MN∥AQ．
又∵AQ?平面PAB，MN?平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
（2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，
∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中點E，連接PE，則PE⊥BC，且PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$×BC×PE=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$．
設點M到平面PBC的距離為h，則V_M-PBC=$\frac{1}{3}$×S_△PBC×h=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$h．
又V_M-PBC=V_P-MBC=V_P-DBC$\frac{1}{3}$×S_△ABC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$×4=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
即$\frac{2\sqrt{21}}{3}$h=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，得h=$\frac{4\sqrt{105}}{21}$．
∴點M到平面PBC的距離為為$\frac{4\sqrt{105}}{21}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．