Question

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1。
（1）過C₁的左頂點引C₁的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C₂：4x²+y²=1，若M、N分別是C₁、C₂上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值。

Answer 1

解：（1）雙曲線C₁：左頂點A（-），漸近線方程為：y=±x
過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，所
以，解得
所以所求三角形的面積為S=。
（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，即b²=2，
由，得x²-2bx-b²-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）
所以=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=2（-1-b²）+2b²+b²=b²-2=0
故PO⊥OQ。
（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，
則O到直線MN的距離為
當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），
則直線OM的方程為y=，
由得，
所以
同理，
設O到直線OM的距離為d，
因為（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以==3，即d=
綜上，O到直線MN的距離是定值。