Question

設(shè)△ABC的∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c若

m

=（a，c），

n

=（cosC，

1

2

）且

m

•

n

=b．
（1）求角A的大小；
（2）求函數(shù)f（x）=2sinxsinAcosx+2cos² xsinA-sinA在區(qū)間[0，

π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由

m

•

n

=b 可得 a•cosC+

c

2

=b，再由正弦定理可得 

sinC

2

=cosAsinC，求出 cosA=

1

2

，可得A的值．
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為

6

2

sin（2x+

π

4

），由x的范圍求出2x+

π

4

的范圍，從而求得函數(shù)f（x）的范圍．

解答：解：（1）△ABC中，由

m

•

n

=b 可得 a•cosC+

c

2

=b，
∴sinAcosC+

sinC

2

=sinB=sin（A+C），
∴

sinC

2

=cosAsinC，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）函數(shù)f（x）=2sinxsinAcosx+2cos² xsinA-sinA=

3

2

sin2x+

3

cos² x-

3

2

=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

6

2

 sin（2x+

π

4

）．
∵0≤x≤

π

4

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴當(dāng) 2x+

π

4

=

π

2

時，函數(shù)取得最大值為

6

2

，當(dāng) 2x+

π

4

=

π

4

時，函數(shù)取得最小值為

3

2

，
故函數(shù)在區(qū)間[0，

π

4

]上的取值范圍是[

3

2

，

6

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．