Question

【題目】(本題滿分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.

(1)求點D到平面PBC的距離；

(2)設Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求二面角B-CQ-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】分析：（1）利用等體積法即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用換元法可得，再結合函數在上的單調性，計算即得結論.

詳解：(1)S△BCD=BC×AB=, 由于PA⊥平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.

設點D到平面PBC的距離為h.

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC,又由于BC⊥AB,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.

由于BP＝＝,所以S△PBC=BC×PB=.故VD-BCP=S△BCP×h=h

因為VP-BCD=VD-BCP，所以h=.

(2)以{，， }為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則各點的坐標為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

設＝λ，(0≤λ≤1)

因為＝(－1,0,2)，所以＝(－λ,0,2λ)，

由＝(0,－1,0)，得＝＋＝(－λ,－1,2λ)，

又＝(0,－2,2)，

從而cos〈，〉＝＝.

設1＋2λ＝t，t∈[1,3]，

則cos2〈，〉＝＝≤.

當且僅當t＝，即λ＝時，|cos〈，〉|的最大值為.

因為y＝cos x在上是減函數，此時直線CQ與DP所成角取得最小值．

又因為BP＝＝，所以BQ＝BP＝.

＝(0,－1,0)，＝(1,1，－2)

設平面PCB的一個法向量為m＝(x，y，z)，

則m·＝0，m·＝0，

即得： y＝0，令z＝1，則x＝2.

所以m＝(2,0,1)是平面PCB的一個法向量．

又＝＋＝(－λ,－1,2λ)＝(－,－1,)，＝(－1,1 ,0)

設平面DCQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，

則n·＝0，n·＝0，

即取x＝4，則 y＝4，z＝7，

所以n＝(4,4,7)是平面DCQ的一個法向量．

從而cos〈m，n〉＝＝，

又由于二面角B-CQ-D為鈍角，所以二面角B-CQ-D的余弦值為－.