Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為．
（1）設側棱長為1，求證：AB₁⊥BC₁；
（2）設AB₁與BC₁的夾角為，求側棱的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點D，連接AD，B₁D，得面ABC⊥面BCC₁B₁．再利用直線與平面垂直的判定定理得出AD⊥面BCC₁B₁于是Rt△CBC₁與Rt△BB₁D相似，最后得AB₁⊥BC₁；
（2）取BC₁的中點D，AC的中點E，連DE，則DE∥AB₁，∠EDB即為A B₁與B C₁成角，利用等邊三角形EDB中，BD的長，從而得出側棱的長．
解答：解：（1）取BC中點D，連接AD，B₁D，
由正三棱錐ABC-A₁B₁C₁，得面ABC⊥面BCC₁B₁．
又D為三角形ABC的邊BC的中點，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC₁B₁
在矩形BCC₁B₁中，BC=，BB₁=1，
于是Rt△CBC₁與Rt△BB₁D相似，
∠CBC₁=∠BB₁D，BC₁⊥DB₁
得AB₁⊥BC₁

（2）取BC₁的中點D，AC的中點E，連DE，則DE∥AB₁，∠EDB即為A B₁與B C₁成60角，
∴∠EDB=60°，在等邊三角形EDB中，BD=BE=，
∴BC₁=2BD=，⇒BB₁==2
∴側棱長為2（14分）
點評：本小題主要考查棱柱的結構特征、直線與平面的位置關系、異面直線所成的角等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．