Question

(本小題滿分16分)如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

(1)求橢圓方程；
(2)設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為.
①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長;
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

Answer 1

(1) (2) ①②見解析

解析試題分析：(1)由,解得,故所求橢圓的方程為…………………4分
(2)①因為,所以直線的方程為,則點P的坐標為,
從而的方程為,即其圓心為,半徑為………… 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為 ………8分
從而截直線所得的弦長為……………10分
②證:設,則直線的方程為,則點P的坐標為,
又直線的斜率為,而,所以,
從而直線的方程為……………………………13分
令,得點R的橫坐標為………………………14分
又點M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為……………………16分
考點：橢圓性質，直線與圓橢圓的位置關系
點評：本題計算量大，對學生的數據處理能力要求較高