Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)
（1）當

a

⊥

b

時，求x的取值集合
（2）求函數f(x)=

a

•(

b

-

a

)的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，結合

a

⊥

b

時，數量積為0，求出x的取值集合
（2）化簡函數f(x)=

a

•(

b

-

a

)的表達式，結合正弦函數的單調增區間，求出函數的單調遞增區間．

解答：解：（1）向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，又∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
故sinxcosx-

1

2

=0，即sin2x=1，所以2x=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
x的取值集合{x|x=kπ+

π

4

，k∈Z}
（2）∵f(x)=

a

•(

b

-

a

)=sinxcosx-sin²x-

3

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）-2
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

    k∈Z
時，函數的單調增區間解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

   k∈Z
函數f(x)=

a

•(

b

-

a

)的單調遞增區間[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]   k∈Z．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，三角函數的單調性，向量的數量積的應用，考查計算能力，常考題型．