Question

15、學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩樣菜可供選擇，調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%改選B；而選B菜的，下星期一則有30%改選A，若用A_n，B_n表示在第n個(gè)星期一分別選A、B的人數(shù)．
（1）試用A_n，B_n，表示A_n+1．
（2）證明A_n+1=0.5A_n+300．
（3）若A₁=a，則A_n=（0.5）^n-1（a-600）+600  （n≥1）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“凡是在這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%改選B；而選B菜的，下星期一則有30%改選A”，可得  A_n+1=0.8A_n+0.3B_n；
（2） 由學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，得到B_n=1000-A_n代入 A_n+1=0.8A_n+0.3B_n，可證；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，根據(jù)A_n+1=0.5A_n+300，兩邊同時(shí)加同一個(gè)常數(shù)，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵凡是在這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%改選B；而選B菜的，下星期一則有30%改選A，若用A_n，B_n表示在第n個(gè)星期一分別選A、B的人數(shù)，
得  A_n+1=0.8A_n+0.3B_n   ①
（2）∵學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，
∴B_n+A_{n^{=1000，即}}B_n=1000-A_n^并代入①，
得A_n+1=0.5A_n+300．   ②
（3） 設(shè)A_n+1+λ=0.5（A_n+λ），即A_n+1=0.5A_n-0.5λ，得-0.5λ=300，∴λ=-600．
∴{A_n-600}是以A₁-600=a-600為首項(xiàng)，公比為0.5的等比數(shù)列．
∴A_n-600=（a-600）×0.5^n-1．
∴A_n=600+（a-600）×0.5^n-1

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象數(shù)列模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實(shí)際生活中的決策問(wèn)題，考查學(xué)生的閱讀能力和分析解決問(wèn)題的能力．