Question

【題目】已知函數f（x）= x3+ax2+bx+ （a，b是實數），且f′（2）=0，f（﹣1）=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）當x∈[﹣1，t]時，求f（x）的最大值g（t）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=x2+2ax+b

∵f'（2）=0，f（﹣1）=0

∴ ，解得

（2）解：由（1）可知，f（x）= ，f'（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），

由f'（x）＞0，得x＜0，或x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）單調遞增，在（0，2）單調遞減，

所以f（x）極小值=f（2）=0，

由 ，得x=﹣1，或x=2；

由 ，得x=0，或x=3．

結合單調性及極值點，畫出圖像如下：

結合圖像，對t分類討論：

1）﹣1＜t＜0時，f（x）在[﹣1，t]上單調遞增， ；

2）0≤t＜3時， ；

3）t≥3時， ．

綜上可得，g（t）=

【解析】（1）直接根據f′（2）=0，f（﹣1）=0得到關于a，b的方程組，即可解出a，b的值；（2）利用導數求出f（x）的單調區間，極值點，并通過解方程f（x）= ，得到特殊點（3， ），然后結合函數圖像，對t分類討論，分別求出f（x）的最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．