Question

已知定義在R上的函數f(x)對任意實數 , 滿足關系f( + )=f( )+f( )+2.
　　(1)證明:f(x)的圖象關于點(0,－2)對稱.　　(2)若x>0,則有f(x)>－2,求證:f(x)在R上為增函數.
　　(3)若數列 滿足 =－ ,且對任意n∈N有 =f(n),試求數列 的前n項和 .

Answer 1

解析：(1)證明:在已知恒等式中令 = =0得f(0)=－2①  又已知恒等式中令 =x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2
　　∴f(x)+f(－x)=－4 ②　　設M(x,f(x))為y=f(x)的圖象上任意一點則由②得③
　　∴由③知點M(x,f(x))與N(－x,f(－x))所成線段MN的中點坐標為(0,－2),　∴點M與點N關于定點(0,－2)對稱.　 ④
　　注意到點M在y=f(x)圖象上的任意性,又點N亦在y=f(x)的圖象上,故由④知y=f(x)的圖象關于點(0,－2)對稱.
　　(2)證明:設 , 為任意實數,且 < ,則 － >0　∴由已知得f( － )>－2　　⑤
　　注意到 =( － )+ 由本題大前提中的恒等式得 f( )=f[( － )+ ] =f( － )+ f( )+2
　∴f( )－f( )=f ( － )+2　⑥　又由⑤知f ( － )+2>0,　∴由⑥得f( )－f( )>0,即f( )>f( ).
　　于是由函數的單調性定義知,f(x)在R上為增函數.
　　(3)解:　∵a_n=f(n),　∴a₁=f(1)=－ ,　　 a_n+1=f(n+1)
　　又由已知恒等式中令 =n, =1得　f(n+1)=f(n)+f(1)+2　∴a_n+1= a_n+ 　∴a_n+1－a_n= (n∈N)
由此可知,數列{ a_n }是首項為 =－ ,公差為 的等差數列.　∴ =－ n+ × 即 = (n²－11n).