Question

設f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數，當n∈N^*時，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=2n+1，則（ ）
A．f（1）=3，f（2）=4
B．f（1）=2，f（2）=3
C．f（2）=4，f（4）=5
D．f（2）=3，f（3）=4

Answer 1

【答案】分析：利用函數單調遞增及n∈N^*時，f（n）∈N^*，對選項進行篩選可求得答案．
解答：解：由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．
∵當n∈N^*時，f（n）∈N^*，
若f（1）=3，則由f[f（1）]=3得：f（3）=3，與單調遞增矛盾，故選項A錯；
若f（2）=4，f（4）=5，則4＜f（3）＜5，與f（3）∈N^*矛盾，故選項C錯；
若f（2）=3，則由f[f（2）]=5得f（3）=5，故選項D錯；
事實上，若f（1）=1，則由f[f（1）]=3得：f（1）=3，矛盾；
若f（1）=m，m≥3，m∈N^*，則f（m）=3，于是f（1）=m≥3=f（m），
這與f（x）在（0，+∞）上單調遞增矛盾，
∴必有f（1）=2，故f（2）=3．
故選B．
點評：本題考查函數的單調性，本題運用了篩選法．