Question

設函數f（x）=xsinx（x∈R）．
（Ⅰ）證明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中為k為整數；
（Ⅱ）設x₀為f（x）的一個極值點，證明[f（x₀）]²=

x04

1+x02

；
（Ⅲ）設f（x）在（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排列a₁，a₂，…，a_n，…，
證明

π

2

＜a_n+1-a_n＜π（n=1，2，…）．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的和角公式，結合三角函數的誘導公式化簡即可；
（2）題目中條件：“x₀為f（x）的一個極值點”可得，x₀是其導數的一個零點，由此得到一個方程，解之即得；
（3）由題意得：“x₀在第二或第四象限內”，結合正切函數的圖象與性質討論兩極值點的差的范圍．

解答：解：（Ⅰ）證明：由函數f（x）的定義，對任意整數k，有
f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）-xsinx=（x+2kπ）sinx-xsinx=2kπsinx．

（Ⅱ）證明：函數f（x）在定義域R上可導，f'（x）=sinx+xcosx①
令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．
顯然，對于滿足上述方程的x有cosx≠0，
上述方程化簡為x=-tanx．此方程一定有解．f（x）的極值點x₀一定滿足tanx₀=-x₀．
由sin²x=

sin2x

sin2x+cos2x

=

tan2x

1+tan2x

，得sin²x₀=

tan2x0

1+tan2x0

．
因此，[f（x₀）]²=x₀²sin²x₀=

x04

1+x02

．

（Ⅲ）證明：設x₀＞0是f'（x）=0的任意正實數根，即x₀=-tanx₀，
則存在一個非負整數k，使x₀∈（

π

2

+kπ，π+kπ），即x₀在第二或第四象限內．
由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符號可列表如下：

所以滿足f'（x）=0的正根x₀都為f（x）的極值點．
由題設條件，a₁，a₂，，a_n，為方程x=-tanx的全部正實數根且滿足a₁＜a₂＜＜a_n＜，
那么對于n=1，2，，a_n+1-a_n=-（tana_n+1-tana_n）=-（1+tana_n+1•tana_n）tan（a_n+1-a_n）． ②
由于

π

2

+（n-1）π＜a_n＜π+（n-1）π，

π

2

+nπ＜a_n+1＜π+nπ，
則

π

2

＜a_n+1-a_n＜

3π

2

，
由于tana_n+1•tana_n＞0，由②式知tan（a_n+1-a_n）＜0．
由此可知a_n+1-a_n必在第二象限，
即a_n+1-a_n＜π．綜上，

π

2

＜a_n+1-a_n＜π．

點評：本題考查了三角函數的和角公式、誘導公式，函數的極值點、正切函數的圖象與性質問題．