Question

已知橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e=，過點C（-1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足．
（Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；
（Ⅱ）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓E的方程為（a＞b＞0），直線的方程為y=k（x+1），由e=可得a，b之間的關系，由，得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），結合二次方程有根及方程的根與系數的關系及S=|y₁-y₂|代入可求；
（Ⅱ）由（I）可得，結合基本不等式可求
解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的方程為（a＞b＞0），直線的方程為y=k（x+1）
由e=∴a²=3b²
故橢圓方程x²+3y²=3b²                                 …（1分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）），由，
得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
可得…（2分）
由消去y整理（1+3k²）x²+6k²x+3（k²-b²）=0（3分）
                              
由直線l與橢圓E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點?
∴…（4分）
而S△OAB=|y₁-y₂|=|-2y₂-y₂|=|y₂|=|k（x₂+1）|⑥…（6分）
由①④得：x₂+1=-，代入⑥得：S△OAB=    …（7分）
（Ⅱ）因S△OAB=，…（8分）
當且僅當，S△OAB取得最大值，…（9分）
此時x₁+x₂=-1，又由①得=-1
∴x₁=1，x₂=-2                                               …（10分）
將x₁，x₂及k²=代入⑤得3b²=5，滿足△＞0                      …（11分）
∴橢圓方程為x²+3y²=5                                    …（12分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交的位置關系的應用，方程的根與系數的關系的應用，屬于綜合性試題