Question

 

已知橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e＝，過點C（－1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足．?

   （Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；

   （Ⅱ）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e＝，過點C（－1，0）的直線l與橢圓

E相交于A、B兩點，且滿足．?

   （Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；

   （Ⅱ）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.

解：（Ⅰ）設橢圓E的方程為（a＞b＞0），直線的方程為y＝k（x＋1）

由e＝∴a²＝3b²       

 故橢圓方程x²＋3y²＝3b²                                     …………1分

設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，

得（－1－x₁，－y₁）＝2（x₂＋1，y₂）                        

可得                           …………2分

由消去y整理并化簡得

（3k²＋1）x²＋6k²x＋3k²－3b²＝0                                 …………3分

由直線l與橢圓E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點?

           …………4分

而S_△OAB ⑥

…………6分

由①④得：x₂＋1＝－，代入⑥得：S_△OAB＝

…………7分

（Ⅱ）因S_△OAB＝，                …………8分

當且僅當，S_△OAB取得最大值，                          …………9分

此時x₁＋x₂＝－1，又由①得＝－1 

∴x₁＝1，x₂＝－2                                               …………10分

將x₁，x₂及k²＝代入⑤得3b²＝5，滿足△＞0                      …………11分

∴橢圓方程為x²＋3y²＝5                                        …………12分