Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=-

3

(1-tanA•tanB)，求角A的正弦值．

Answer 1

分析：根據兩角和的正切公式與誘導公式，結合題意算出C=60°．根據余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子解出c=

7

2

，再由正弦定理加以計算即可得出角A的正弦值．

解答：解：∵tanA+tanB=-

3

(1-tanA•tanB)，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

結合C為三角形的內角，可得C=60°．
∵a=4，b+c=5，得b=5-c
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=4²+（5-c）²-2×4（5-c）cos60°，解之得c=

7

2

由正弦定理，得sinA=

asinC

c

=

4sin60°

7 2

=

4 3

7

．

點評：本題給出三角形的角滿足的等式，在已知邊長的情況下求sinA，著重考查了誘導公式、兩角和的正切公式和正余弦定理等知識，屬于中檔題．