Question

已知函數f(x)=

a2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a為常數，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數，求a的取值集合A；
（2）當a=-1時，求f（x）的反函數；
（3）對于問題（1）中的A，當a∈{a|a＜0，a∉A}時，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，可求a=-1；
（2）當a=-1時，用y表示x，再將x，y互換，定義域為原函數的值域；
（3）原問題轉化為g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，利用函數思想可解．

解答：解：（1）由必要條件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，
所以a=-1，…（2分）
下面證充分性，當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，
任取x≠0，x∈R，f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2-x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

=0恒成立，…（4分）
由A={-1}．…（5分）
（2）當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，其值域是(-∞，-1)∪(1，+∞)…（7分）
得x=log2

y-1

y+1

，互換x，y得f-1(x)=log2

x-1

x+1

，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)…（10分）
（3）原問題轉化為g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}
恒成立，則

x-4＜0 g(0)≥0

…（12分）
或

x-4=0 g(0)＞0

…（14分）
則x的取值范圍為[，4]．…（16分）

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查函數的性質，考查恒成立問題，考查求反函數，關鍵是等價轉化．