Question

已知O為坐標原點，直線y=x+a與圓x²+y²=4分別交于A，B兩點．若

OA

?

OB

=-2，則實數a的值為（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、±1
• D、±

  2

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線與圓的方程聯立化為2x²+2ax+a²-4=0，由于直線與圓相交于兩點，可得△＞0．得到根與系數的關系，再利用數量積運算即可得出．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=x+a x2+y2=4

，化為2x²+2ax+a²-4=0，
∵直線與圓相交于兩點，
∴△=4a²-8（a²-4）＞0，化為a²＜8．（*）
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2-4

2

．
∵

OA

•

OB

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，
∵y₁y₂=（x₁+a）（x₂+a）=x1x2+a(x1+x2)+a2，代入上式可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=-2．
∴2×

a2-4

2

+a×(-a)+a2=-2．
化為a²=2滿足（*）
解得a=±

2

．
故選：D．

點評：本題考查了直線與圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、數量積運算等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．