Question

已知如圖：E、F、G、H分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、CC₁、C₁D₁、AA₁的中點．
（1）求證：EG∥平面BB₁D₁D；
（2）求證：平面BDF∥平面B₁D₁H．

Answer 1

證明：（1）取B₁D₁的中點O，連接GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形，
故OB∥GE，而OB?平面BB₁D₁D，GE 不在平面BB₁D₁D內，
由線面平行的判定定理即可證 EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由正方體得BD∥B₁D₁．如圖，連接HB、D₁F，
易證四邊形HBFD₁是平行四邊形，故HD₁∥BF．B₁D₁∥BD，又B₁D₁∩HD₁=D₁，BD∩BF=B，
所以，平面BDF∥平面B₁D₁H．
分析：（1）取B₁D₁的中點O，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故有OB∥GE，從而證明EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由正方體得BD∥B₁D₁，由四邊形HBFD₁是平行四邊形，可得 HD₁∥BF，可證 平面BDF∥平面B₁D₁H．
點評：本題考查證面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質的應用，取B₁D₁的中點O，是解題的突破口．