Question

【題目】已知函數

（1）當a=0時，求函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）令求函數的極值.

（3）若，正實數滿足，

證明：.

Answer 1

【答案】（1）2x﹣y﹣1=0；（2）詳見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)利用導函數在處的值求得斜率，然后點斜式求解切線方程即可；

(2)利用導函數與極值的關系結合題意分類討論可得當a≤0時，函數g（x）無極值；

當a＞0時，函數g（x）有極大值﹣lna，無極小值；

(3)利用題意構造，結合題意進行證明即可.

試題解析：

（1）當a=0時，f（x）=lnx+x，則f（1）=1，所以切點為（1，1），

又f′（x）=+1，則切線斜率k=f′（1）=2，

故切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；

（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，

所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，

當a≤0時，因為x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數，無極值；

當a＞0時，g′（x）=，

令g′（x）=0，得x=，

所以當x∈（0，）時，g′（x）＞0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＜0，

因此函數g（x）在x∈（0，）是增函數，在（，+∞）是減函數，

當a＞0時，函數g（x）的遞增區間是（0，），遞減區間是（，+∞），

∴x=時，g（x）有極大值g（）=﹣lna，

綜上，當a≤0時，函數g（x）無極值；

當a＞0時，函數g（x）有極大值﹣lna，無極小值；

(3)解：由，令，則由得，

可知，在區間（0，1）上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，，

所以解得

又因為，因此成立