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精英家教網在平面直角坐標系中,點A(1,0)、B(-1,0),已知|CA|=2
2
,BC的垂直平分線l交AC于D,當點C動點時,D點的軌跡圖形設為E.
(1)求E的標準方程;
(2)點P為E上一動點,點O為坐標原點,曲線E的右焦點為F,求|PO|2+|PF|2的最小值.
分析:(1)設D(x,y),結合圖象由垂直平分線的性質結合橢圓的定義知,點E的軌跡是橢圓,由定義求出參數,得出標準方程;
(2)設 P(x,y)x∈[-
2
2
]
,得出PO2=x2+y2,PF2=(x-1)2+y2,整理表示出PO|2+|PF|2,再根據p點在曲線上得出2y2=2-x2,從而整理出|PO|2+|PF|2=x2-2x+3=(x-1)2+2 根據x的范圍即可求出最小值.
解答:精英家教網解:(1)設(x,y)
∵l是BC的垂直平分線,
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2
2
>2=|AB|
∴D點的軌跡圖形E是A,B為焦點的橢圓 其中2a=2
2
,c=1,
∴a=
2
,b2=a2-c2=1   
∴D點的軌跡圖形E:
x2
2
+y2=1
   
(2)設 P(x,y)x∈[-
2
2
]

則PO2=x2+y2
PF2=(x-1)2+y2   
∴|PO|2+|PF|2=2x2-2x+2y2+1    
點P(x,y)滿足
x2
2
+y2=1

∴2y2=2-x2
∴|PO|2+|PF|2=x2-2x+3=(x-1)2+2     
∵x∈[-
2
2
],∴當x=1時,|PO|2+|PF|2的最小值為2
點評:本題考查了軌跡方程以及直線與圓錐曲線問題,(2)問中要注意x的范圍,此題是一道綜合題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數,就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數,則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點,當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數
⑤存在恰經過一個整點的直線.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,下列函數圖象關于原點對稱的是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

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