Question

（本題滿分16分，其中第1小題9分，第2小題7分）

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，高為（），動點在側棱上移動.設與側面所成的角為.

（1）當時，求點到平面的距離的取值范圍；

（2）當時，求向量與夾角的大小.

.

Answer 1

（本題滿分16分，理科：第1小題9分，第2小題7分；文科：第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）

（理科）解：（1）設BC的中點為D，連結AD、DM，則有

 

于是，可知即為AM與側面BCC₁所成角.

因為，點到平面的距離為，不妨設，.

在Rt△ADM中，.

由,,故.

而當時，，

即

，

所以，點到平面的距離的取值范圍是.

（2）解法一：當時，由（1）可知,

故可得,.

    設向量與的夾角為，因為

   

以.故面積的最大為.        .

所以，

故向量與夾角的大小為.

解法二：如圖，以中點O為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在直線為軸（其中點為中點），建立空間直角坐標系.

由（1）可知，當時，.

所以有，，，

,，即，.

設向量與夾角為，則

故向量與夾角的大小為.

解法三：如圖，過點作//，交于.

聯結.因為是正三棱柱，故可得.

    當時，由（1）可知,

故可得.

在等腰三角形中，不難求得

，即異面直線與所成角為

而圖中不難發現，與夾角的大小為異面直線與所成角的補角，即與夾角的大小為.

（文科）解:（1） 為偶函數，對恒成立，

即對恒成立，又，

于是得對恒成立，.

（2） 由（1）得

可知，當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為 ；

當時，單調遞增區間為和，

單調遞減區間為和.

（3）解法一：由偶函數的性質得：函數在區間上也必定有零點，即方程在區間上有實數解，則，

設，可知函數在區間上單調遞增，

，.

解法二：若函數在區間上存在零點，則必有

即.