Question

已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，點D的坐標為（2，1），則p的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線OD斜率為，OD⊥AB，知直線AB方程為2x+y-5=0，代入拋物線方程得y²+py-5p=0，從而得到y₁y₂=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線OD斜率為，OD⊥AB，∴直線AB斜率為-2，
故直線AB方程為2x+y-5=0…（1）
將（1）代入拋物線方程得y²+py-5p=0，
則y₁y₂=-5p，
∵=2px₁，=2px₂，
則（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
故x₁x₂=，
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵p＞0，∴p=．
故選C．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．