Question

如圖，已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求p的值．

Answer 1

【答案】分析：A、B兩點在拋物線y²=2px上，可設點A（，y₁），B（，y₂），根據向量、互相垂直，利用數量積列式，化簡得．利用經過兩點的斜率公式，得直線AB的斜率為，結合點斜式方程得到直線AB的方程為，令y=0，化簡可得x=2p，所以直線AB經過x軸上的定點M（2p，0）．然后根據OD⊥AB，得到直線AB的斜率為-2，最后結合D、M的坐標，可得，解之得p=．
解答：解：因為A、B兩點在拋物線y²=2px上，設點A（，y₁），B（，y₂）
∵ 
∴=⇒
∵y₁y₂≠0，∴⇒…①
∵直線AB的斜率為
∴直線AB的方程為，
令y=0，得⇒=2px-
∴-y₁y₂=2px…②
將①代入②，得4p²=2px⇒x=2p
所以直線AB經過x軸上的定點M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率為k₁==
∴直線AB的斜率為，
∴結合D、M的坐標，可得，解之得p=．
點評：本題給出過原點的直線與拋物線交于A，B兩點，且OA⊥OB，并且已知原點在直線AB上的射影坐標，求拋物線的焦參數值．著重考查了拋物線的簡單性質、直線與圓錐曲線間的關系等知識點，屬于難題．