【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，
，
平面PAB，
，點E滿足
.
（1）證明：
；
（2）求二面角A-PD-E的余弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
（1）由勾股定理計算出
，然后求數量積
得
，由線面垂直可得
，從而可證得
平面ABCD得證線線垂直；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，用空間向量法求二面角的余弦值．
（1）證明：在
中，
由勾股定理，得
.
因為
，
所以
.
所以
，所以.
因為
平面PAB，
平面PAB，
所以.
又因為
，
所以平面ABCD.
又因為
平面ABCD，
所以
.
（2）由
得
.
所以點E是靠近點A的線段AB的三等分點.
所以
.
分別以
所在方向為y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
則
.
設平面PDE的法向量為
，
由
，得
.
令
，則
；
設平面APD的法向量為
，
由
，得
，
令
，則
.
設向量
與
的夾角為
，
則
.
所以二面角
的余弦值為.
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，四邊形為矩形，
是
的中點，
是
的中點，點
在線段
上且
．
（1）證明
平面
；
（2）當
為多大時，在線段上存在點
使得
平面
且
與平面
所成角為
同時成立？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2013年華人數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式。孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數p，使得p+2是素數，素數對(p，p+2)稱為孿生素數．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其中能夠組成孿生素數的概率是
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點，M是直線x＝1上任意一點，直線MA，MB與曲線C的另一個交點分別為D，E，求證：直線DE過定點H（4，0）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某鮮花店每天制作
、
兩種鮮花共
束，每束鮮花的成本為
元，售價
元，如果當天賣不完，剩下的鮮花作廢品處理.該鮮花店發現這兩種鮮花每天都有剩余，為此整理了過往100天這兩種鮮花的日銷量（單位：束），得到如下統計數據：
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天數 | 25 | 35 | 20 | 20 |
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天數 | 40 | 35 | 15 | 10 |
以這100天記錄的各銷量的頻率作為各銷量的概率，假設這兩種鮮花的日銷量相互獨立.
（1）記該店這兩種鮮花每日的總銷量為
束，求的分布列.
（2）鮮花店為了減少浪費，提升利潤，決定調查每天制作鮮花的量
束.以銷售這兩種鮮花的日總利潤的期望值為決策依據，在每天所制鮮花能全部賣完與
之中選其一，應選哪個？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝ex－ax－1（e為自然對數的底數），a＞0．
（1）若函數f（x）恰有一個零點，證明：aa＝ea－1；
（2）若f（x）≥0對任意x∈R恒成立，求實數a的取值集合．
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