Question

【題目】設函數，.

（1）當時，函數，在處的切線互相垂直，求的值；

（2）當函數在定義域內不單調時，求證：；

（3）是否存在實數，使得對任意，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數的值；若不存在，請說理由.（參考數據：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1

【解析】分析：（1）求導得切線斜率為和，由垂直得斜率積為-1，從而得解；

（2），求導得，令，要使函數在定義域內不單調，只需要在有非重根，利用二次方程根的分別即可得解；

（3）對恒成立，令，，令，存在，使得，即，則，取到最小值, 所以，即在區間內單調遞增，從而得解.

詳解：（1）當時，，則在處的斜率為，

又在處的斜率為，則，解得 .

（2）函數，

則 .

∵，∴，令，

要使函數在定義域內不單調，只需要在有非重根，

由于開口向上，且

只需要，得，

因為，所以，

故，當且僅當時取等號，命題得證 .

（3）假設存在實數滿足題意，則不等式對恒成立，

即對恒成立 .

令，則，

令，則，

因為在上單調遞增，，，且的圖象在上不間斷，

所以存在，使得，即，則，

所以當時，單調遞減；當時，單調遞增.

則取到最小值，

所以，即在區間內單調遞增，

所以，

所以存在實數滿足題意，且最大整數的值為1 .