Question

在空間直角坐標系O-xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點Q在直線OP上運動，當

QA

•

QB

取最小值時，點Q的坐標是

 

．

Answer 1

考點：空間向量運算的坐標表示

專題：空間向量及應用

分析：根據題意，設出點Q的坐標，求出

QA

•

QB

的表達式，計算

QA

•

QB

取最小值時點Q的坐標．

解答： 解：根據題意，點Q在直線OP上運動，

OP

=（1，1，2）；
設Q（t，t，2t），
∵

QA

•

QB

=（t-1，t-2，2t-3）•（t-2，t-1，2t-2）
=（t-1）（t-2）+（t-2）（t-1）+（2t-3）（2t-2）
=6t²-16t+10，
∴當t=

16

2×6

=

4

3

時，

QA

•

QB

取得最小值．
此時點Q的坐標是（

4

3

，

4

3

，

8

3

）．
故答案為：（

4

3

，

4

3

，

8

3

）．

點評：本題考查了空間向量的共線問題以及數量積的應用問題，是基礎題目．